1. Toda a relação de equivalência em um conjunto induz uma partição desse conjunto

O que queremos provar

Que a relação de equivalência sobre um conjunto induz uma partição em , ou seja:

  1. Duas classes de equivalência distintas não podem ter elementos em comum ()
  2. A união de todas as classes de equivalência é o conjunto ()

Prova directa
...

1ª parte
...

Como R é reflexiva:

Sejam dois elementos de classes de equivalência distintas (). Então por definição:

Alternativa (prova por absurdo)

R é relação de equivalência, logo é simétrica e transitiva. Sejam dois elementos de classes de equivalência distintas () com um elemento em comum. Então: é

2ª parte
...

Como R é reflexiva, qualquer elemento pertence à sua própria classe de equivalência:

Vice-versa, como qualquer elemento de uma classe de equivalência pertence a X:

Logo como

Concluindo
...

Toda a relação de equivalência sobre um conjunto induz uma partição nesse conjunto.

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2. Toda a relação de equivalência em um conjunto induz uma partição desse conjunto
Prova directa
1ª parte
2ª parte
Concluindo