Se X for um conjunto finito basta dizer que se então por definição .
E (prova-se por indução, se for necessário)
Assumindo que X é um conjunto infinito (, e derivados ...):
Definimos uma função e provamos que é injectiva (logo o seu conjunto de chegada terá cardinal maior ou igual ao de saída).
Seja logo é injectiva.
Suponhamos por absurdo que existe uma função sobrejectiva
Seja o conjunto de elementos de que não pertence à imagem de .
Como é sobrejectiva
Como
Logo não existe uma função sobrejectiva .Logo
1ª parte: (Prova directa)
2ª parte: (Prova por absurdo)