Uma função bijectiva existe se existirem funções injectivas e
Prova directa
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1ª parte ()
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Basta definir um conjunto fechado contido em e traçar uma recta entre os extremos que é uma função linear (que é bijectiva logo injectiva). É mais fácil com um exemplo:
Exemplo
Sejam e . Então existe um conjunto fechado contido em , por exemplo [1,2]. Então existe que é por exemplo a função abaixo:
2ª parte ()
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A função é injectiva ()
Conclusão
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Pelo Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein conclui-se que existe uma função h bijectiva: logo