1. O cardinal de N é menor que o cardinal de R

6. O cardinal de é menor que o cardinal de
...

O que queremos provar

Prova
...

1ª parte ()
...

A função é injectiva.

Alternativa:

2ª parte ()
...

Conhecido como o argumento da diagonalização de Cantor. Seja uma função de . Podemos representar pelos seus algarismos da seguinte forma:

Seja

Ou seja, b é um número na forma em que nenhum dos seus algarismos corresponde ao algarismo na diagonal de (a vermelho).

Então por definição .
Logo não é sobrejectiva.
Logo .

Como não existe função sobrejectiva e , não existe função sobrejectiva (ver prova opcional).

Logo

Prova (opcional?)

Podemos definir uma função sobrejectiva :

Se existisse uma função sobrejectiva então seria sobrejectiva, o que é absurdo, pois demonstrámos que não existe função sobrejectiva

Logo não existe função sobrejectiva

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  1. O cardinal de é menor que o cardinal de
Prova

1ª parte ()

2ª parte ()